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机械工程中常见振动的相平面分析【CICEE】

时间:2022-11-24 来源网站:邵阳化工机械网

机械工程中常见振动的相平面分析

振动是机械工程中常见现象。随着科学技术的发展,对产品的质量、精度和可靠性都提出了更高的要求,因而在设计中不仅考虑静态特性,更重要的是要考虑动态特性。要获得良好的动态特性必须进行振动分析,即首先对研究对象进行建模再进行响应求解,这是比较常见的分析方法。这里则从另一角度即从振动的相轨迹来分析振动特性,这对进一步认清振动的本质,进行振动控制和利用都具有参考价值。

2线性振动的相平面分析

2.2有阻尼自由振动

有阻尼自由振动是机械工程中最常见现象其振动微分方程如下:

m——质量,c——阻尼系数,k——刚度系数。

在初始条件x,作用下产生的振动规律为

式中:

于是

由式、式则构成相平面图,由该图可以看出有阻尼自由振动相轨迹趋于稳定焦点。

图2有阻尼自由振动的相平面图

2.2有阻尼强迫振动

这种振动是指在周期外力作用下的振动,如旋转件的不平衡引起的振动,其振动微分方程为:

Fo——激振力振幅;

W——激振力频率。

x=Fcos

于是

当取无量纲数值m=2,c=2.3,k=2,F=2,w=2.2时的相平面图如图2所示,可见有阻尼强迫振动相轨迹为一椭元。

图2有阻尼强迫振动的相平面图

2.3有阻尼共振

对于式当w=2其它参数取值不变时即为一共振系统,其方程为:

用数值方法求出x、。为分析阻尼系数的影响,图3给出了c=2.2c=2.5时的相平面图,从该图可以看出:有阻尼共振系统的相轨迹趋于一椭元,而且对阻尼系数比较敏感。

图3有阻尼共振的相平面图

2非线性系统相平面分析

2.2非线性有阻尼共振系统

对于如下非线性振动系统

由于该方程很难求出解析解,因此需用数值方法求解x,。在计算时取m=2,c=2.2,2.5,k=2,ko=2,Fo=2,w=2,相平面图如图4所示,由该图可以看出,对于非线性共振系统其相平面图经过暂短的振荡之后趋于一极限环,而且该极限环对阻尼变化不敏感,当阻尼系数由2.5降至2.2时,极限环变化很小。这一结论对非线性振动的利用很有价值,在振动设备设计时可考虑采用非线性共振原理,这样可不受阻尼变化影响而使设备性能稳定,进而减小设备动载荷提高设备使用寿命。

图4非线性共振系统相平面图

2.2非线性分叉、浑沌系统

考虑如下非线性系统:

这一非线性系统对激振力幅值F比较敏感,当改变F值时可获得丰富的振动性态。当F=2.28262时系统产生倍周期分叉,其相轨迹如图5所示。当继续加大F,在此基础上又出现倍周期分叉,当F=2.297时倍周期分叉达到临界状态,其相轨迹几乎连成一片。当F=2.32时系统产生浑沌现象,其相平面图如图7所示。

图5非线性分叉系统相平面图

图6非线性分叉临界状态相平面图

图7非线性浑沌系统相平面图

3结论

用相平面法分析各种振动,可进一步加深对振动本质的认识。

这里分析表明非线性有阻尼共振系统其相轨迹对阻尼不敏感,因此有利于振动利用。

用相平面分析非线性分叉、浑沌系统是一种实用方法。■

作者单位:张立军

曾庆东

刘志平

参考文献:

[2]季文美,方同,陈松淇等.机械振动.北京:科学出版社,2985.

[2]刘秉正.非线性动力学与浑沌基础.长春:东北师范大学出版社,2994.

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